ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
พีทาโกรัส คือ ทฤษฎีที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยทฤษฎีกล่าวไว้ว่า
“กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากที่เหลือทั้งสองด้าน”
ทีนี้เรามาดูกันว่าด้านแต่ละด้านที่พูดถึงคือด้านใหนกันบ้าง
จากรูป
– ด้าน a เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก เราจะเรียกด้านนี้ว่า “ด้านตรงข้ามมุมฉาก”
– ด้าน b and c เป็นด้านทั้งสองด้านที่อยู่ติดกับมุมฉาก เราเรียกด้านพวกนี้ว่า “ด้านประกอบมุมฉาก”
จากทฤษฎีด้านบน เราสามารถเขียนเป็นสูตรการหาความยาวในแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามหลัก พีทาโกรัส (เมื่อสามเหลี่ยมมุมฉาก Right Triangle คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเท่ากับ 90°) ได้ดังนี้
เมื่อ a เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ b และ c เป็นด้านประกอบมุมฉาก
** สูตรนี้สามารถใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น**
ดังนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่า
ถ้า b2 + c2 = a2 สามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า b2 + c2 > a2 สามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า b2 + c2 < a2 สามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน
————————————————————————–
*** เน้นย้ำไว้นะคะว่า หากน้องๆไปเจอเลขชุดสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่เป็นจำนวนเท่าของเลขข้างบน เราสามารถบอกได้ว่า สามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ตัวอย่างเช่น
สามารถกล่าวได้ว่า สามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก เมื่อนำ 5 มาหารความยาวด้านแต่ละด้าน ดังนี้
25 ÷ 5 = 5
60 ÷ 5 = 12
65 ÷ 5 = 13
หรืออาจกล่างได้ว่า สามเหลี่ยมรูปนี้มีอัตราส่วนความยาวด้าน เป็น 5 : 12 : 13 ซึ่งเป็นตัวเลขความสัมพันธ์ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากตามกฎของพีทาโกรัสนั้นเอง
———————————————————————————–
ตัวอย่างการแก้โจทย์พีทาโกรัส
ตัวอย่างที่ 1. กำหนดให้สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความยาวด้านทั้งสามดังนี้ 6, 8, 10 สามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
วิธีทำ ข้อนี้เราสามารถหาคำตอบได้ 2 วิธีดังนี้
วิธีที่ 1 เนื่องจาก 6, 8, 10 เป็นเลขที่สามารถหารด้วย 2 ได้ทั้งหมดดังนี้
6 ÷ 2 = 3
8 ÷ 2 = 4
10 ÷ 2 = 5
เนื่องจากสามเหลี่ยมรูปนี้มีอัตราส่วนความยาวด้าน 3 : 4 : 5 เป็นตัวเลขความสัมพันธ์ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากตามกฎของพีทาโกรัส ดังนั้นสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
วิธีที่ 2 การตรวจสอบด้วยวิธีเลขยกกำลัง ดังนี้
62 = 36 –> เมื่อ 6 เป็นความยาวด้านประกอบมุมฉาก
82 = 64 –> เมื่อ 8 เป็นความยาวด้านประกอบมุมฉาก
102 = 100 –> เมื่อ 10 เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
เมื่อ 62 + 82 = 36 + 64 = 100 –> ซึ่งมีค่าเท่ากับ 102 ดังนั้นสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
——————————————————————————————–
ตัวอย่างที่ 2 บันไดอันหนึ่ง ถ้าตั้งเอนไปทางทิศตะวันตก ปลายบันไดจะจรดกับเสาสูง 48 ฟุตพอดี แต่ถ้าตั้งเอนไปทางทิศตะวันออกปลายบันไดจะจรดกับเสาสูง 14 ฟุตพอดี ถ้าเสาสองต้นห่างกัน 62 ฟุต บันไดยาวกี่ฟุต
จากโจทย์ เราสามารถวาดรูปได้ดังนี้
จากรูปจะเห็นว่า มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ 2 รูป โดยสมมติให้บันไดยาว “a”
เนื่องจากบันไดยาวเท่ากันเท่ากับ “a”
จากทฤษฎีพีทาโกรัสสามารถเขียนสมการได้ดังนี้
จากสามเหลี่ยมรูปที่ 1 จะได้ว่า 482 + x2 = a2 ——–> สมการที่ 1
และ จากสามเหลี่ยมรูปที่ 2 จะได้ว่า 142 + (62-x)2 = a2 ——–> สมการที่ 2
เนื่องจาก บันไดที่ใช้เป็นบันไดเดียวกัน (ความยาวเท่ากัน) นำสมการที 1 = สมการที่ 2 จะได้ว่า 482 + x2 = 142 + (62 – x)2
482 + x2 = 142 + (622 – 2(62)(x) + x2) –> (จากสูตรกำลังสอง กำลังสองสัมบูรณ์)
482 + x2 = 142 + 622 – 124x + x2
124x = 142 + 622 – 482 = 1736
x = 14
นำค่า X ที่ได้มาแทนค่าในสมการ (สมการ 1 หรือ 2 ก็ได้) เพื่อหาความยาวบันไดดังนี้
จากสมการ 482 + x2 = a2
แทนค่ะ x = 14 ในสมการ 482 + 142 = a2
2500 = a2
ดังนั้น a = 50 นั้นคือ บันไดมีความยาว = 50 ฟุต
————————————————————————————–
ตัวอย่างที่ 3 จะต้องใช้เชือกยาวเท่าไร หากต้องการนำมาทำเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป โดยให้ด้านตรงกันข้ามมุมฉากยาว 25 นิ้ว และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งอีกยาว 7 นิ้ว
กำหนดให้ด้านประกอบมุมฉากอีกด้านมีความยาวเท่ากับ X
จากทฤษฎีพีทาโกรัสจะได้ว่า
252 = X2 + 72
X2 = 252 – 72
X2 = 576
X = 24
หากต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขโจทย์ 1 รูปจะต้องใช้เชือกยาวเท่ากับ
(25 + 7 + 24) = 56 นิ้ว
ดังนั้นหากต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขโจทย์ 2 รูป จะต้องใช้เชือกยาว
เท่ากับ 56 x 2 = 112 นิ้ว
อ้างอิง
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น